이차함수 그래프: 꼭짓점·축·평행이동 정리

Q: 이차함수 그래프의 꼭짓점은 어떻게 구하나요?

y=ax^2+bx+c를 완전제곱식을 이용해 표준형 y=a(x-p)^2+q로 바꾸면 꼭짓점은 (p, q)입니다. 꼭짓점의 x좌표는 -b/(2a)이므로, 이 값을 원래 식에 대입해 y좌표를 구해도 됩니다.

Q: 이차함수 그래프가 아래로 볼록인지 위로 볼록인지 어떻게 알 수 있나요?

x^2의 계수 a의 부호로 정해집니다. a>0이면 아래로 볼록하고 꼭짓점에서 최솟값을, a<0이면 위로 볼록하고 꼭짓점에서 최댓값을 가집니다. |a|가 클수록 그래프의 폭이 좁아집니다.

Q: 이차함수 그래프와 x축의 교점 개수는 어떻게 판단하나요?

이차방정식 ax^2+bx+c=0의 판별식 D=b^2-4ac로 판단합니다. D>0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D=0이면 한 점에서 접하며, D<0이면 만나지 않습니다.

Q: 이차함수 그래프를 직접 그려 볼 수 있나요?

네. Graph Go 편집기에 y=(x-1)^2-2처럼 수식을 입력하면 그래프가 바로 그려집니다. 이 페이지의 각 예시 아래 "편집기에서 바로 그려보기"를 누르면 해당 수식이 입력된 상태로 열립니다.

이차함수 그래프는 y=ax²+bx+c (a≠0) 꼴의 함수를 좌표평면에 나타낸 포물선입니다. a>0이면 아래로 볼록하고 a<0이면 위로 볼록하며, 꼭짓점을 지나고 y축에 평행한 직선(축)에 대해 대칭입니다. 식을 표준형 y=a(x-p)²+q로 바꾸면 꼭짓점 (p, q)와 축 x=p를 바로 읽을 수 있습니다.

이차함수의 정의

함수 $y=f(x)$ 에서 $f(x)$ 가 $x$ 에 대한 이차식일 때, 즉

y=ax^2+bx+c\quad (a,\ b,\ c\text{는 상수},\ a\neq 0)

꼴로 나타낼 때 이 함수를 이차함수라고 합니다. $a=0$ 이면 일차 이하의 함수가 되므로 $a\neq 0$ 이라는 조건이 꼭 필요합니다. 이차함수의 그래프는 포물선이라고 부르는 곡선입니다.

표준형과 일반형

일반형

y=ax^2+bx+c

$x=0$ 을 대입하면 $y=c$ 이므로, 그래프는 점 $(0,\ c)$ 를 지납니다. 즉 상수항 $c$ 가 $y$ 절편입니다.

표준형

y=a(x-p)^2+q

꼭짓점이 $(p,\ q)$ , 축이 직선 $x=p$ 입니다. 그래프의 위치를 바로 알 수 있어 그래프를 그리거나 최댓값·최솟값을 구할 때 편리합니다.

일반형을 표준형으로 바꾸기

이차항과 일차항을 묶어 완전제곱식을 만들면 다음과 같습니다.

y=ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}

따라서 꼭짓점은 $\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)$ , 축은 $x=-\frac{b}{2a}$ 입니다. 예를 들어 $y=2x^2+4x-1$ 은

y=2(x^2+2x)-1=2(x+1)^2-2-1=2(x+1)^2-3

이므로 꼭짓점은 $(-1,\ -3)$ , 축은 $x=-1$ 입니다.

인수분해된 꼴

그래프가 $x$ 축과 두 점 $(\alpha,\ 0)$ , $(\beta,\ 0)$ 에서 만나면 $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$ 로 쓸 수 있습니다. 포물선은 축에 대해 대칭이므로 축은 두 $x$ 절편의 한가운데인 $x=\frac{\alpha+\beta}{2}$ 입니다.

꼭짓점과 축, 그래프의 모양

조건	그래프의 모양
$a>0$	아래로 볼록. 꼭짓점에서 최솟값 $q$ 를 가지고 최댓값은 없음
$a<0$	위로 볼록. 꼭짓점에서 최댓값 $q$ 를 가지고 최솟값은 없음
$\|a\|$ 가 클수록	그래프의 폭이 좁아짐

그래프와 $x$ 축의 위치 관계는 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 의 판별식 $D=b^2-4ac$ 로 판단합니다.

$D>0$ : 서로 다른 두 점에서 만난다
$D=0$ : 한 점에서 만난다 (접한다)
$D<0$ : 만나지 않는다

평행이동과 대칭이동에 따른 그래프 변화

평행이동

$y=ax^2$ 의 그래프를 $x$ 축 방향으로 $p$ 만큼, $y$ 축 방향으로 $q$ 만큼 평행이동하면 $x$ 대신 $x-p$ , $y$ 대신 $y-q$ 를 대입해

y=a(x-p)^2+q

가 됩니다. 꼭짓점은 $(0,\ 0)$ 에서 $(p,\ q)$ 로 옮겨지고, 볼록한 방향과 폭( $a$ )은 바뀌지 않습니다. 즉 $a$ 가 같은 이차함수의 그래프는 평행이동으로 서로 완전히 겹칠 수 있습니다.

대칭이동

$y=a(x-p)^2+q$ 의 그래프를 대칭이동하면 다음과 같습니다.

대칭이동	바꾸는 방법	결과	꼭짓점
$x$ 축에 대하여	$y$ 대신 $-y$	$y=-a(x-p)^2-q$	$(p,\ -q)$
$y$ 축에 대하여	$x$ 대신 $-x$	$y=a(x+p)^2+q$	$(-p,\ q)$
원점에 대하여	$x$ 대신 $-x$ , $y$ 대신 $-y$	$y=-a(x+p)^2-q$	$(-p,\ -q)$

$x$ 축 또는 원점에 대해 대칭이동하면 $a$ 의 부호가 바뀌어 볼록한 방향이 반대가 되고, $y$ 축에 대해 대칭이동하면 볼록한 방향은 그대로입니다.

예시 그래프

아래 그래프는 Graph Go 편집기로 그린 것입니다. 이미지 아래 링크를 누르면 같은 수식이 입력된 편집기가 열려 직접 확대·이동하며 살펴볼 수 있습니다.

y=x^2의 그래프, 꼭짓점 (0, 0), 축 x=0, 아래로 볼록한 포물선 — $y=x^2$ : 꼭짓점 $(0,\ 0)$ , 축 $x=0$ ( $y$ 축), 아래로 볼록
편집기에서 바로 그려보기 →

y=(x-1)^2-2의 그래프, 꼭짓점 (1, -2), 축 x=1, 아래로 볼록, y절편 -1 — $y=(x-1)^2-2$ : $y=x^2$ 을 $x$ 축 방향으로 1, $y$ 축 방향으로 $-2$ 만큼 평행이동. 꼭짓점 $(1,\ -2)$
편집기에서 바로 그려보기 →

y=-x^2+4의 그래프, 꼭짓점 (0, 4), 위로 볼록, x절편 -2와 2 — $y=-x^2+4$ : $a<0$ 이므로 위로 볼록. 꼭짓점 $(0,\ 4)$ 에서 최댓값 4, $x$ 절편 $-2$ , $2$
편집기에서 바로 그려보기 →

y=2x^2+4x-1의 그래프, 표준형 y=2(x+1)^2-3, 꼭짓점 (-1, -3), 축 x=-1, 아래로 볼록, y절편 -1 — $y=2x^2+4x-1=2(x+1)^2-3$ : 꼭짓점 $(-1,\ -3)$ , 축 $x=-1$ , $y$ 절편 $-1$
편집기에서 바로 그려보기 →

수능·내신 출제 포인트 (교사용)

이차함수 그래프는 단독 문항보다 방정식·부등식, 직선, 미분·적분과 연결되어 자주 출제됩니다. 문항을 구상할 때 참고할 수 있는 대표 유형을 정리했습니다.

1. 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

두 식을 연립한 이차방정식의 판별식으로 교점의 개수(두 점에서 만남, 접함, 만나지 않음)를 판단하는 유형입니다. 그래프가 직선에 접하도록 하는 미정계수를 구하거나, 교점의 개수가 바뀌는 경계값을 찾게 하는 방식으로 변형할 수 있습니다.

2. 제한된 범위에서의 최댓값과 최솟값

$x$ 의 범위가 주어지면 최댓값·최솟값은 꼭짓점 또는 범위의 양 끝에서 생깁니다. 꼭짓점의 $x$ 좌표가 범위 안에 있는지에 따라 경우가 나뉘므로, 꼭짓점이나 범위에 미지수를 넣으면 경우 나누기를 평가하는 문항이 됩니다.

3. 이차방정식·이차부등식과 그래프의 연결

그래프와 $x$ 축의 교점은 이차방정식의 실근이고, 그래프가 $x$ 축보다 위(아래)에 있는 범위는 이차부등식의 해입니다. 예를 들어 모든 실수 $x$ 에 대해 $ax^2+bx+c>0$ 이 성립할 조건( $a>0$ 이고 $D<0$ )을 그래프로 해석하게 할 수 있습니다.

4. 그래프의 개형으로 계수의 부호 판단

볼록한 방향으로 $a$ 의 부호, $y$ 절편으로 $c$ 의 부호를 읽고, 축 $x=-\frac{b}{2a}$ 의 위치로 $a$ 와 $b$ 의 부호 관계를 판단합니다. 축이 $y$ 축의 오른쪽에 있으면 $a$ 와 $b$ 의 부호가 다르고, 왼쪽에 있으면 같습니다.

5. 미분·적분과의 연계

이차함수의 그래프와 직선 또는 다른 이차함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이, 접선의 방정식을 묻는 유형입니다. 이차함수 $y=ax^2+bx+c$ 의 그래프와 직선이 $x=\alpha$ , $x=\beta$ 에서 만날 때 둘러싸인 부분의 넓이가 $\frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}$ 이라는 성질을 이용하면 계산 과정을 줄일 수 있습니다. 이는 정적분 단원과 연계되는 넓이 공식으로, 정적분으로 넓이를 구하는 문항에서 검산이나 풀이 단축에 쓰입니다.

문항에 쓸 그래프는 Graph Go 편집기 →에서 직접 그리고 "SVG로 저장"으로 내려받아 시험지에 넣을 수 있습니다.

자주 묻는 질문

이차함수 그래프의 꼭짓점은 어떻게 구하나요?