삼각함수 그래프: sin·cos·tan의 주기, 진폭, 평행이동 정리

Q: 삼각함수 그래프의 주기는 어떻게 구하나요?

y=a sin(bx+c)+d와 y=a cos(bx+c)+d의 주기는 2π/|b|, y=a tan(bx+c)+d의 주기는 π/|b|입니다. 주기는 x의 계수 b로만 정해지고 a, c, d와는 관계가 없습니다.

Q: sin 그래프와 cos 그래프는 어떤 관계인가요?

cos x=sin(x+π/2)이므로 y=cos x의 그래프는 y=sin x의 그래프를 x축 방향으로 -π/2만큼 평행이동한 것입니다. 두 그래프는 모양과 주기(2π), 최댓값(1), 최솟값(-1)이 같습니다.

Q: y=a sin(bx+c)+d의 최댓값과 최솟값은 어떻게 되나요?

최댓값은 |a|+d, 최솟값은 -|a|+d입니다. |a|가 그래프가 위아래로 흔들리는 폭(진폭)을, d가 그래프의 가운데 높이를 정합니다. cos도 같고, tan은 최댓값과 최솟값이 없습니다.

Q: Graph Go에서 π는 어떻게 입력하나요?

π 기호를 그대로 입력하거나 pi라고 입력하면 됩니다. 예를 들어 sin(x-pi/3)+1은 y=sin(x-π/3)+1의 그래프를 그립니다.

삼각함수 그래프는 y=sin x, y=cos x, y=tan x처럼 각의 크기에 따라 값이 정해지는 함수를 좌표평면에 나타낸 것으로, 같은 모양이 일정한 간격(주기)마다 반복됩니다. y=sin x와 y=cos x의 그래프는 주기가 2π이고 최댓값 1과 최솟값 -1 사이를 오가는 물결 모양이며, y=tan x의 그래프는 주기가 π이고 x=π/2+nπ(n은 정수)에서 점근선을 가집니다. y=a sin(bx+c)+d 꼴에서는 |a|가 진폭(최댓값과 최솟값의 차의 절반), 2π/|b|가 주기를 결정합니다.

삼각함수의 정의

좌표평면에서 원점 $O$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r$ 인 원 위의 점 $P(x,\ y)$ 에 대하여, 동경 $OP$ 가 나타내는 일반각의 크기를 $\theta$ 라 하면

\sin\theta=\frac{y}{r},\quad \cos\theta=\frac{x}{r},\quad \tan\theta=\frac{y}{x}\ (x\neq 0)

입니다. 삼각함수의 그래프를 그릴 때는 각의 크기를 호도법(라디안)으로 나타내 $x$ 축에 놓습니다. $\pi$ 라디안은 $180^\circ$ 입니다.

기본 삼각함수 그래프의 성질

함수	정의역	치역	주기	대칭
$y=\sin x$	실수 전체	$-1\le y\le 1$	$2\pi$	원점
$y=\cos x$	실수 전체	$-1\le y\le 1$	$2\pi$	$y$ 축
$y=\tan x$	$x\neq \frac{\pi}{2}+n\pi$	실수 전체	$\pi$	원점

( $n$ 은 정수) $y=\tan x$ 의 그래프는 직선 $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ 에 한없이 가까워지므로 이 직선들이 점근선입니다. $y=\sin x$ 와 $y=\cos x$ 의 그래프는 점근선이 없고 $-1$ 과 $1$ 사이를 반복해서 오갑니다.

주기·진폭·평행이동: y=a sin(bx+c)+d 읽는 법

y=a\sin(bx+c)+d\qquad y=a\cos(bx+c)+d\qquad (a\neq 0,\ b\neq 0)

값	$\sin$ , $\cos$	$y=a\tan(bx+c)+d$
최댓값	$\|a\|+d$	없음
최솟값	$-\|a\|+d$	없음
주기	$\frac{2\pi}{\|b\|}$	$\frac{\pi}{\|b\|}$

진폭 $|a|$ : 그래프가 가운데 높이에서 위아래로 벗어나는 최대 폭입니다. 최댓값과 최솟값의 차는 $2|a|$ 입니다.
주기: $x$ 의 계수 $b$ 로만 정해집니다. $|b|$ 가 클수록 주기가 짧아져 그래프가 촘촘해집니다.
$x$ 축 방향 평행이동: $bx+c=b\left(x+\frac{c}{b}\right)$ 이므로 그래프는 $y=a\sin bx$ 의 그래프를 $x$ 축 방향으로 $-\frac{c}{b}$ 만큼 평행이동한 것입니다.
$d$ : 그래프 전체를 $y$ 축 방향으로 $d$ 만큼 평행이동합니다. 가운데 높이가 $y=d$ 가 됩니다.

자주 하는 실수는 괄호 안의 상수를 그대로 평행이동 거리로 읽는 것입니다. 예를 들어 $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 은 $y=\sin 2x$ 의 그래프를 $x$ 축 방향으로 $\frac{\pi}{3}$ 이 아니라 $\frac{\pi}{6}$ 만큼 평행이동한 것입니다.

평행이동과 대칭이동에 따른 그래프 변화

sin 그래프와 cos 그래프의 관계

$\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 이므로 $y=\cos x$ 의 그래프는 $y=\sin x$ 의 그래프를 $x$ 축 방향으로 $-\frac{\pi}{2}$ 만큼 평행이동한 것입니다. 두 그래프는 모양, 주기, 최댓값, 최솟값이 같습니다.

대칭이동

$x$ 축에 대하여 대칭이동: $y=\sin x\ \rightarrow\ y=-\sin x$
$y$ 축에 대하여 대칭이동: $\sin(-x)=-\sin x$ 이므로 $y=\sin x$ 는 $y=-\sin x$ 가 되고, $\cos(-x)=\cos x$ 이므로 $y=\cos x$ 는 그대로입니다.

절댓값이 붙은 그래프

$y=|\sin x|$ : $x$ 축 아래 부분을 위로 접어 올린 모양이며, 주기가 $\pi$ 로 바뀝니다.
$y=\sin|x|$ : $x\ge 0$ 부분을 $y$ 축에 대해 대칭이동한 모양이며, 주기함수가 아닙니다.

예시 그래프

아래 그래프는 Graph Go 편집기로 그린 것입니다. $x$ 축 눈금은 정수 단위이므로 $\pi\approx 3.14$ , $2\pi\approx 6.28$ 로 읽으면 됩니다. 이미지 아래 링크로 같은 수식을 편집기에서 열 수 있습니다.

y=sin x의 그래프, 원점을 지나고 최댓값 1, 최솟값 -1, 주기 2π인 물결 모양 — $y=\sin x$ : 원점을 지나고 최댓값 1, 최솟값 $-1$ , 주기 $2\pi$
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y=cos x의 그래프, 점 (0, 1)을 지나고 y축에 대칭, 최댓값 1, 최솟값 -1, 주기 2π — $y=\cos x$ : 점 $(0,\ 1)$ 을 지나고 $y$ 축에 대칭, 주기 $2\pi$
편집기에서 바로 그려보기 →

y=2sin 2x의 그래프, 원점을 지나고 최댓값 2, 최솟값 -2, 주기 π — $y=2\sin 2x$ : 진폭 2(최댓값 2, 최솟값 $-2$ ), 주기 $\frac{2\pi}{2}=\pi$
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y=sin(x-π/3)+1의 그래프, y=sin x를 x축 방향으로 π/3, y축 방향으로 1만큼 평행이동, 최댓값 2, 최솟값 0, 주기 2π — $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$ : $y=\sin x$ 를 $x$ 축 방향으로 $\frac{\pi}{3}$ , $y$ 축 방향으로 1만큼 평행이동. 최댓값 2, 최솟값 0
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수능·내신 출제 포인트 (교사용)

삼각함수 그래프는 주기성과 대칭성을 이용해 계산을 줄이는 문항, 그래프와 직선의 교점을 세는 문항으로 자주 출제됩니다. 문항을 구상할 때 참고할 수 있는 대표 유형을 정리했습니다.

1. 그래프의 특징으로 미정계수 결정

최댓값·최솟값, 주기, 그래프가 지나는 점을 조건으로 주고 $y=a\sin(bx+c)+d$ 의 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 를 구하게 하는 유형입니다. 그래프 일부만 보여 주고 주기와 평행이동을 읽어 내게 하면 난도를 조절할 수 있습니다.

2. 방정식·부등식을 그래프의 교점으로 해결

$\sin x=k$ 꼴의 방정식을 $y=\sin x$ 의 그래프와 직선 $y=k$ 의 교점으로 보고 해의 개수나 해의 합을 구하는 유형입니다. 예를 들어 $0\le x<2\pi$ 에서 $\sin x=k\ (0<k<1)$ 의 두 해는 직선 $x=\frac{\pi}{2}$ 에 대해 대칭이므로 두 해의 합은 $\pi$ 입니다. 부등식은 그래프가 직선보다 위(아래)에 있는 $x$ 의 범위로 해석합니다.

3. 주기성과 대칭성을 이용한 함숫값 계산

$f(x+p)=f(x)$ 같은 주기 조건이나 그래프의 대칭축을 이용해 여러 함숫값의 합을 구하거나 크기를 비교하는 유형입니다. 그래프에서 대칭 관계를 찾으면 계산 없이 값을 짝지을 수 있습니다.

4. 절댓값·합성으로 변형된 그래프의 교점 개수

$y=|a\sin bx+d|$ 처럼 절댓값이 붙거나 구간에 따라 식이 바뀌는 그래프를 그리고, 직선 $y=k$ 나 원점을 지나는 직선과의 교점 개수를 세게 하는 유형입니다. 그래프 개형을 정확히 그리는 능력과 경계값을 따지는 능력을 함께 평가할 수 있습니다.

5. 미분과의 연계 (선택 과목 범위)

삼각함수의 도함수를 이용해 접선의 방정식, 함수의 증가·감소와 극값을 묻는 유형입니다. 삼각함수와 다항함수를 더하거나 합성한 함수의 그래프 개형을 추론하게 하는 문항으로 확장할 수 있습니다.

문항에 쓸 그래프는 Graph Go 편집기 →에서 직접 그리고 "SVG로 저장"으로 내려받아 시험지에 넣을 수 있습니다.

자주 묻는 질문

삼각함수 그래프의 주기는 어떻게 구하나요?